(수렴하는)극한의 기본성질에 대하여

극한의 기본성질이라는 게 있습니다.

이 활용과 관련해서 질문이 들어와서 글을 적습니다.

이 극한의 기본성질을

'수렴하는' 함수들를 더하고 빼고 곱하고 나눠서 만든 함수의 극한은

lim를 '분배'해서 구할 수 있다.

라고 배우고 문제풀이에 사용하고 있지요. 

(사실, 분배는 아니죠. 생긴 게 분배하는 것처럼 생겨서 흔히들 그렇게 말하고는 있지만..)

여기에서 핵심은 f(x), g(x)가 '수렴한다고 알려졌을 때'에만

lim가 분배(?) 될 수 있다는 거지요.

f(x)나g(x)의 수렴여부가 불분명할 때는 위처럼 하면 큰일난다고 배웠습니다.

그런데 혼자하는 수능수학 

A미적분과 통계기본 01-11번

B수학2 09-12번, 10-2번, 10-6번, 10-11번

의 풀이를 보면 

수렴한다고 알려지지 않은 경우도 lim를 분배한 것처럼 보이는 부분이 있습니다.

이 부분 풀이가 잘못된 것 아닌냐는 질문이 들어왔는데요.

잘못된 거 아닙니다.

대부분의 책들이 이 부분 풀이를 얼렁뚱땅 넘어가고 있는데..

말 나온 김에 제대로 짚고 넘어갑시다.

일반적인 함수 f(x), g(x)를 가지고 설명하겠습니다.

   

에 수렴한다고 하면

에 '수렴'할 것입니다.

즉, 문제에서 말은 안 했지만 g(x)도 '수렴'한다는 사실은 쉽게 확인할 수 있지요.  

따라서 아래와 같이 lim의 분배가 가능한 겁니다.

책에서는 ( i )과 ( ii ) 사이의 과정을 생략하는 바람에 

잘못된 풀이 아니냐는 오해가 생겼던 거구요.

물론 극한의 기본성질을 이용해서 정석대로 풀 수도 있지만

대부분의 경우 풀이가 길어집니다.

어차피 똑같은 내용인데.. 별다른 의미도 없이 풀이만 길어져요.

그래서 위 처럼 미지의 함수가 '수렴'한다는 사실을

눈으로 얼른 확인할 수 있는 경우라면

바로 lim를 분배해서 풀어버려도 무방합니다.