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  • 혼자수 2020년판이 나왔어요.
저자 게시판

(수렴하는)극한의 기본성질에 대하여

by 도서출판 차미 2015. 5. 16.

극한의 기본성질이라는 게 있습니다.

이 활용과 관련해서 질문이 들어와서 글을 적습니다.


이 극한의 기본성질을

'수렴하는' 함수들를 더하고 빼고 곱하고 나눠서 만든 함수의 극한은

lim를 '분배'해서 구할 수 있다.

라고 배우고 문제풀이에 사용하고 있지요. 

(사실, 분배는 아니죠. 생긴 게 분배하는 것처럼 생겨서 흔히들 그렇게 말하고는 있지만..)


여기에서 핵심은 f(x), g(x)가 '수렴한다고 알려졌을 때'에만

lim가 분배(?) 될 수 있다는 거지요.

f(x)나g(x)의 수렴여부가 불분명할 때는 위처럼 하면 큰일난다고 배웠습니다.


그런데 혼자하는 수능수학 

A미적분과 통계기본 01-11번

B수학2 09-12번, 10-2번, 10-6번, 10-11번

의 풀이를 보면 

수렴한다고 알려지지 않은 경우도 lim를 분배한 것처럼 보이는 부분이 있습니다.

이 부분 풀이가 잘못된 것 아닌냐는 질문이 들어왔는데요.

잘못된 거 아닙니다.


대부분의 책들이 이 부분 풀이를 얼렁뚱땅 넘어가고 있는데..

말 나온 김에 제대로 짚고 넘어갑시다.


일반적인 함수 f(x), g(x)를 가지고 설명하겠습니다.


   


에 수렴한다고 하면


에 '수렴'할 것입니다.

즉, 문제에서 말은 안 했지만 g(x)도 '수렴'한다는 사실은 쉽게 확인할 수 있지요.  

따라서 아래와 같이 lim의 분배가 가능한 겁니다.



책에서는 ( i )과 ( ii ) 사이의 과정을 생략하는 바람에 

잘못된 풀이 아니냐는 오해가 생겼던 거구요.


물론 극한의 기본성질을 이용해서 정석대로 풀 수도 있지만

대부분의 경우 풀이가 길어집니다.

어차피 똑같은 내용인데.. 별다른 의미도 없이 풀이만 길어져요.


그래서 위 처럼 미지의 함수가 '수렴'한다는 사실을

눈으로 얼른 확인할 수 있는 경우라면

바로 lim를 분배해서 풀어버려도 무방합니다. 




  







댓글14

  • 생략하신거군요.. 2015.05.16 19:15

    이전에 댓글올렸던 사람입니다...
    설명을 안하셔서 오개념 갖고 개신줄 알았어요;;ㅎㅎ 죄송합니다.

    그리고 추가 정오표도 되도록 빨리 올려주셨으면 좋겠어요... 부탁드려요~^^
    답글

    • 네. 추가 정오표가 며칠내로 올라갈 겁니다.
      그동안 2쇄 인쇄하는라고 바빴거든요.

      그리고 죄송할 거 없어요.
      보통 대부분의 학생들이 책에 써 있는대로 '그냥 그런갑다..'하고 넘어가는데
      원칙대로 꼼꼼하게 공부하는 학생을 만나서 반가웠습니다.

  • 아 그리고 2015.05.16 19:18

    저기 증명하신부분에 분모부분 g(x) 가 아니라 f(x)인것같네요^^
    답글

  • BlogIcon 박정환 2015.08.07 22:55

    수2 06-17 번 문제에 써잇는 2코사인제곱 -1을 코사인2엑스로 바꿔서 합성하는 풀이 보다 반각공식을쓰는 풀이가 평가원이 원하는 풀이인가요?
    답글

  • BlogIcon 박정환 2015.08.07 22:55

    수2 06-17 번 문제에 써잇는 2코사인제곱 -1을 코사인2엑스로 바꿔서 합성하는 풀이 보다 반각공식을쓰는 풀이가 평가원이 원하는 풀이인가요?
    답글

  • BlogIcon 박소연 2015.09.18 21:42

    미적분과 통계기본 03-1번 문제(p32) ㄴ선지와 ㄷ선지에서 lim(x->0)|f(x)| = |lim(x->0)f(x)|, 즉 절댓값 기호를 바깥으로 빼서 생각하고 풀었는데 혹시 이렇게 푸는 건 잘못 푼 건가요?
    답글

  • BlogIcon 개정수학 2015.12.04 23:28

    이번 개정수학 책도 출간하시나요?
    답글

  • BlogIcon 개정수학 2015.12.10 20:34

    저는 개념이 부족한데 이 책으로 그냥 시작해도 되나요?
    답글

  • BlogIcon ljk 2015.12.15 09:13

    안녕하세요 선생님 고2올라가는 학생을 둔 학부모입니다 책이 너무 조은거 같아서 보게 할까 시픈데 학원은 다니고 있고요 겨울방학때 선행은 학원서 할텐데 이 책을 언제쯤 바야대는지요? 그럼 건승하십시요..
    답글

  • 재수생 2016.01.27 22:54

    선생님 작년 문과 96점 1등급학생인데 이번에 이과로전과해서 수능준비하는데

    이책말고따로봐야할책이있나요?

    그리구 제가 일단 미적2랑 기벡만 정석으로 간단하게땐상태인데

    그전에 기출풀어보니까 3점은풀리는데 4점은진짜 제머리의한계가느껴지더라구요

    책은오늘시켯는데 ㅠㅠ
    답글

    • 교육과정이 바뀌어서 이과 시험범위가 이전 문과 시험범위랑 비슷해지긴 했지만..
      실제로 바꾸는 학생이 있었군요.

      우선 기하,벡터 문제를 많이 풀 것을 시급히 권합니다. 뒤로 미뤘다간 벡터에 발목 잡힙니다.

      그리고 4점짜리 어려운 건 누구에게나 마찬가지니까.. 기죽지 말고 해보세요.

  • 요요 2016.07.22 09:37

    한번 올려보아요
    안녕하세요

    반갑습니다
    답글